FUNZIONI e DISEQUAZIONI con grafico

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↑2018.12.09 <>

Per tracciare il grafico della g(x) con due punti (retta del tipo y=mx+q), scontato che il primo punto sia sull’asse delle y con q=3, nota come sia facile individuare la pendenza m fissando il secondo punto rispetto al primo con ordinata +2 e ascissa +3 (tratte dal coefficiente 2/3)

Per tracciare il grafico della iperbole f(x) si fissano alcuni punti scegliendo ascisse che generino ordinate intere o frazioni semplici: ad esempio f(1/3)=-4; f(4)=-1/3; f(2)=-2/3; f(1/2)=-8/3

Potremmo risolvere approssimativamente la disequazione osservando i due grafici e vedendo che la f(x) è minore della g(x) (sta sotto la g(x)) tra -4 e -1/2 e poi per tutto x>0.

Algebricamente invece ...

Con riferimento ai grafici delle tre funzioni f(x), g(x), h(x), risolvi le seguenti equazioni o disequazioni

h(x)=g(x)  Risposta: x=-1

f(x)=g(x)  Risposta: x=-2 e x=3

f(x)>g(x)  Risposta: x<-2 e x>3

g(x)≤h(x)  Risposta: x≤-1

L’insieme immagine della funzione y=f(x) è l’insieme degli elementi y appartenenti ad R tali che y>-4

f(1)=-3;  f(-1)=3;

f^-1(5)=±3 perciò non è una funzione, perché, per potersi dire FUNZIONE, ad ogni elemento del dominio deve corrispondere uno e un solo elemento del codominio (o immagine); in altre parole la f(x) non è invertibile.

Gli zeri della funzione y=f(x) sono x=±2

Il segno della f(x) è positivo per x<-2 e x>2, è negativo per -2<x<2

Graficamente si vede che f(x)<3 per -1<x<1

y=h(x) è una retta del tipo y=mx+q; si vede dal grafico che q=-1 (dove taglia l’asse y);

m è la pendenza della retta; m=b/a dove b e a si trovano così: scegliamo due punti P₁ e P₂,qualsiasi della retta (conviene sceglierli in modo che abbiano coordinate intere)

b = la differenza delle ordinate dei due punti (di quanto mi sposto in alto o in basso per andare da P₁ e P₂)

a = la differenza delle ascisse dei due punti (di quanto mi sposto a destra o a sinistra in orizzontale per andare da P₁ e P₂)

Qui, ad esempio, scegliamo P₁≡(0;-1) dove la retta taglia l’asse delle y; scegliamo P₂≡(1;-3);

b = -3 - -1 = -2

a = 1 – 0 = 1

quindi m = -2/1 = -2

e la retta ha equazione y = -2x - 1

Senza fare le suddette differenze posso calcolare gli spostamenti (intendendo positivo verso l’alto e verso destra, negativo verso il basso e vero sinistra): per andare da P₁ e P₂ mi sposto di due unità verso il basso (b=-2) e di una unità verso destra (a=1) dal che m = -2/1 = -2

Se è facile dal grafico trarre l’equazione di una retta, non altrettanto facile sarebbe trarre dal grafico la funzione di una curva se non dopo un po’ di esperienza; tuttavia se ci si chiedesse di scegliere per la y=f(x)  quali delle seguenti equazioni (y=1/4x²-1; y=x-4; y=x²-4; y=3/4x²-6) sia la sua, potremmo andare per esclusione così:

- escludiamo la prima, perché per x=0 varrebbe y=-1, mentre dal grafico vediamo che f(0)=-4

- a questo punto potremmo già dire che l’equazione corrispondente è la terza y=x²-4, ma andiamo avanti con le esclusioni

- escludiamo la seconda perché è di primo grado, il suo grafico sarebbe una retta, non una parabola

- escludiamo la quarta perché per x=0 varrebbe y=-6, mentre, mentre dal grafico vediamo che f(0)=-4

- siamo certi che sia la terza? Abbiamo visto che corrisponde per x=0; proviamo con un’altra ascissa, ad esempio x=3: nel grafico vediamo che gli corrisponde y=5, e vediamo che y=3²-4 fa proprio 5; tuttavia, trattandosi di una parabola, per fissarla con certezza non basterebbero due punti come per le rette, dovremmo trovare coincidenza almeno con un terzo punto