And Or Not e tabelle di verità

[Pagina senza pretese di esaustività o imparzialità, modificata 12/01/2024; col colore grigio distinguo i miei commenti rispetto al testo attinto da altri]

 

↑2011.10.29 Se un’affermazione A è vera, il contrario logico di A è falso.

Ad esempio:

·       indichiamo con A l’affermazione vera “Laura è femmina” e indichiamo con ‘A il suo contrario logico, che sarebbe  “Laura NON è femmina”, affermazione falsa

·       indichiamo con B l’affermazione vera “Mario è maschio” e indichiamo con ‘B il suo contrario logico, che sarebbe  “Mario NON è maschio”, affermazione falsa

(per mia comodità grafica qui scrivo ‘A (cioè A preceduto da apice) il contrario di A, invece che scrivere A sovrastato dal trattino  ̚  come sul tuo foglio; lo stesso per B)

Quando abbiamo due o più affermazioni possiamo trovarci nella necessità di esprimerle collegate tra loro dalle congiunzioni grammaticali “e, o, non” nel linguaggio comune; analogamente si fa con la logica matematica, anche se è più rigorosa e precisa del linguaggio comune, e chiama “operatori logici” quegli “e, o, non” che nel parlato chiamiamo congiunzioni; questi operatori assomigliano alle congiunzioni, ma in matematica dobbiamo imparare il loro significato preciso:

·       E (and): in tal caso il risultato sarà vero solo se entrambe le affermazioni collegate sono vere

·       O (or): in tal caso il risultato sarà vero se almeno una delle due a affermazioni collegate è vera

·       non (not): in tal caso il risultato sarà vero se l’affermazione negata è falsa, e viceversa

Conveniamo di indicare

·       col simbolo ˅ l’operatore logico O (or)

·       col simbolo ˄ l’operatore logico E (and)

·       con ‘ apice l’operatore logico non (not) (nel tuo testo lo trovi indicato invece col trattino sopra)

·       con V un’affermazione vera di partenza o un’affermazione vera come risultato di una o più operazioni logiche

·       con F un’affermazione falsa di partenza o un’affermazione falsa come risultato di una o più operazioni logiche

Facciamo degli esempi legando con operatori logici queste due affermazioni vere

·       “Laura è femmina”

·       “Mario è maschio”

1.     Se l’affermazione “Laura è femmina” è vera, allora l’affermazione “Laura NON è femmina” è falsa
simbolicamente indicheremo così: se A = V, allora ‘A = F; oppure così: (A = V) → (‘A = F)

2.     L’affermazione “Laura è femmina E Mario è maschio”  è vera  perché entrambe le affermazioni sono vere
simbolicamente indicheremo così: A ˄ B = V

3.     L’affermazione “Laura è femmina E Mario NON è maschio”  è falsa perché una delle due è falsa  (non sono entrambe vere le 2 affermazioni)
simbolicamente indicheremo così: A ˄ ‘B = F

4.     L’affermazione “Laura è NON è femmina E Mario NON è maschio”  è falsa per la stessa ragione di sopra aggravata
simbolicamente indicheremo così: ‘A ˄ ‘B = F

5.     L’affermazione “Laura è femmina O Mario è maschio” è vera perché almeno una delle 2 affermazioni è vera (sono vere entrambe per giunta)
simbolicamente indicheremo così: A ˅ B = V

6.     L’affermazione “Laura è femmina O Mario NON è maschio” è vera perché almeno una delle 2 affermazioni è vera
simbolicamente indicheremo così: A ˅ ‘B = V

7.     L’affermazione “Laura non è femmina” O “Mario NON è maschio” è falsa perché nessuna delle due affermazioni è vera
simbolicamente indicheremo così: ‘A ˅ ‘B = F

 

Ora osserva la tabella di verità del tuo compito (clic qui)

Nella colonna A trovi 4 valori possibili per A, due veri nelle prime 2 righe (come se ci fosse scritto due volte “Laura è femmina”) e due falsi nelle successive 2 righe, come se  ci fosse scritto due volte “Laura non è femmina”

Anche nella colonna B trovi 4 valori possibili per B, uno vero e uno falso alternativamente (come se ci fosse scritto “Mario è maschio” e poi “Mario non è maschio”.

Nella colonna ‘A trovi la negazione della colonna A: nella riga dove A è vero, troverai falso e viceversa

Nella colonna ‘A ˅ B trovi il risultato dell’operazione OR tra ‘A (not A) e B, con la logica spiegata sopra: il risultato è vero solo se almeno uno dei 2 è vero, cioè se è vero ‘A o se è vero B.

Nella colonna A ˄ B trovi il risultato dell’operazione AND tra A e B, con la logica spiegata sopra: il risultato è vero solo se entrambi sono veri, cioè se è vero sia A sia B, altrimenti falso.

Nella colonna ‘B trovi la negazione della colonna B: nella riga dove B è vero, troverai falso e viceversa.

Nella colonna ‘A ˅ ‘B trovi il risultato dell’operazione OR tra ‘A (not A) e ‘B (not B), con la logica spiegata sopra: il risultato è vero solo se almeno uno dei 2 è vero, cioè se è vero ‘A o se è vero ‘B.

Nell’ultima colonna si esegue (A ˄ B) ˅ (‘A ˅ ‘B) , riapplichi l’operazione OR tra le colonne già precedentemente descritte. 

 

Sentiamoci se non è chiaro.