Esempi di esercizi di fisica – CINEMATICA, per medie e superiori

<goog ym> moto rettilineo: <ym> formulario, <ym> velocità media (vm=Δs/Δt) ed istantanea (idem con Δt→0) e <ym> legge oraria (s = s0 + vm*t), dove s=spazio percorso, s0=spazio iniziale.

- <ym> moto uniformemente accelerato: accelerazione (a=Δv/Δt) costante; legge oraria (s = s0 + v0*t + ½*a*t²), dove v0=velocità iniziale: vedi altri esempi sulle Leggi di Newton.

moto parabolico

moto armonico, circolare, ellittico

Scusa ove ravvisassi banalità.

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2010.11.18 (vedi questa tabella Excel per i calcoli) Da un dirupo alto 32,5m lasci cadere una palla (P1). In seguito lanci una seconda palla (P2) verso il basso con una velocità iniziale di 11,0 m/s.

d1) Quale palla ha il maggiore incremento di velocità quando raggiunge la base del dirupo?

d2) GIUSTIFICA la risposta con il calcolo.

PRIMA CONSIDERAZIONE

Detto Δv1 l’incremento di velocità della P1, detto Δv2 quello della P2, di primo acchito verrebbe da rispondere che Δv1=Δv2, perché entrambe le velocità (v1 e v2) aumentano per effetto della medesima accelerazione di gravità (a=9,81 m/s²); ma vediamo in dettaglio.

 

d1.1) CALCOLIAMO L’INCREMENTO DI VELOCITÀ Δv1 della P1

Scelgo sistema di riferimento tale che “spazio iniziale si = 0”, cioè partiamo dal ciglio del dirupo; scelgo positiva la direzione verso il basso, quindi segneremo la accelerazione di gravità come positiva.

Intendendo t = t1, vi la velocità iniziale della P1, sf lo spazio finale (percorso dal dirupo alla base), ricaveremo t dalla legge oraria

sf = si + vi t + ½ a t²

32,5 = 0 + 0 t + ½ 9,81 t², dal che ricavo

t² = 32,5 / (½ 9,81) da cui t=±RadQ(...)=2,574 secondi (trascuriamo il valore negativo del tempo)

Ora che conosciamo il tempo t impiegato dalla P1 per arrivare alla base, calcoliamo con che velocità vf arriverà alla base, considerando che parte da ferma (vi =0)

vf = vi + a t

vf = 0 + 9,81 2,574 = 25,252 m/s (vedi anche metodo di soluzione alternativo)

Δv1 = vf - vi =  25,252 m/s

 

d1.2) CALCOLIAMO L’INCREMENTO DI VELOCITÀ Δv2 della P2

Intendendo t = t2, vi la velocità iniziale della P2, sf lo spazio finale (percorso dal dirupo alla base), ricaveremo t dalla legge oraria

sf = si + vi t + ½ a t²

32,5 = 0 + 11 t + ½ 9,81 t², ossia un’equazione di 2° grado in t

½ 9,81 t² + 11 t – 32,5 = 0, che risolviamo con la nota formula del t1,2= [–b ± RadQ(b² - 4ac)]/2a

t1,2= [–11 ± RadQ(11² + 2 9,81 32,5)] / 9,81 = 1,686 secondi, trascurando il valore negativo

Ora che conosciamo il tempo t impiegato dalla P2 per arrivare alla base, calcoliamo con che velocità vf arriverà alla base, considerando che non parte da ferma (vi = 11m/s)

vf = vi + a t

vf = 11 + 9,81 1,686 = 27,544 m/s (vedi anche metodo di soluzione alternativo)

Δv2 = vf - vi = 27,544 – 11 = 16,544 m/s

Quindi Δv1>Δv2.

 

d2) Come GIUSTIFICARE la risposta?

Anche se l'accelerazione è uguale in entrambi i casi, essa agisce sulla P2 per meno tempo rispetto a quanto agisce sulla P1 perché la P2, avendo velocità iniziale maggiore di quella della P1, impiega meno tempo della prima per arrivare alla base; dunque, se l'accelerazione di gravità agisce per più tempo sulla P1 che sulla P2, procurerà alla P1 un incremento di velocità maggiore che alla P2 ( Δv1>Δv2).

GIUSTIFICHIAMO con il calcolo:

considerando che Δv = vf - vi e che vf = vi + a t

otteniamo che Δv= vi + a*t - vi, quindi

Δv= a t cioè Δv è indipendente dalla vi: è dipendente solo dalla durata t di azione dell’accelerazione a.

Se facciamo il rapporto tra i due incrementi di velocità, otteniamo:

Δv1/ Δv2 = a t1 / a t2 e, semplificando per a, otteniamo

Δv1/ Δv2 = t1/t2 : gli incrementi di velocità sono direttamente proporzionali ai tempi di percorrenza.

 

METODO di SOLUZIONE ALTERNATIVO (con la conservazione dell’energia)

Siccome il moto che stiamo trattando è la caduta di un grave, potremmo ricavare la velocità di fine caduta attraverso la legge di conservazione dell’energia (potenziale + cinetica) che all’arrivo deve avere un valore uguale a quello di partenza.

Per la P1 abbiamo un’energia di partenza che è tutta e solo potenziale (m g h) mentre all’arrivo è tutta e solo cinetica (½ m vf²) dove m=massa, g=9,81m/s², h=altezza di caduta, vf=velocità raggiunta alla base:

m g h = ½ m vf², dal che, semplificando per m, otteniamo

g h = ½ vf², dal che

vf² = ±RadQ(2 g h)

vf = RadQ( 2*9,81*32,5) = 25,252 m/s, trascurando il valore negativo.

Per la P2 abbiamo un’energia di partenza che è in parte cinetica (½ m vi²) e in parte potenziale (m g h), mentre all’arrivo è tutta e solo cinetica (½mvf²):

½ m vi² + m g h = ½ m vf², dal che, semplificando per m, otteniamo

½vi² + g h = ½ vf², dal che

vf² = ±RadQ(vi² + 2 g h)

vf = ±RadQ(11² + 2*9,81*32,5) = 27,544 m/s, trascurando il valore negativo]

 

2016.10.05 Una palla cade da un’altezza di 15 m, arriva al suolo e rimbalza con una velocità di 10m/s.

d1) Qual è il modulo della velocità con cui la palla arriva a terra?

d2) a quale altezza massima arriva la palla dopo il rimbalzo?

d3) a quale altezza da terra si trova la palla mezzo secondo dopo il rimbalzo?

Il moto della palla è quello della caduta di un grave, quindi uniformemente accelerato con l’accelerazione di gravità a = 9,81 m/s²;  intendendo positiva la direzione verso il basso, la sua legge oraria sarà s = si + vi t + ½ a t²

 

d1) per calcolare la velocità di arrivo, calcoliamo prima il tempo impiegato a cadere

dalla formula 15m = 0 + 0 + ½*9,81m/s²*t² possiamo ricavare il t impiegato per arrivare al suolo

t=±RadQ[15m/(½ 9,81m/s²)]=1,748s

Sappiamo che in un moto uniformemente accelerato

vf = vi + a t dove vf è la velocità di arrivo al suolo

vf = 0 + 9,81m/s²*1,748s = 17,155m/s

d1a) soluzione alternativa con la legge di conservazione dell’energia, tipicamente applicabile nel moto che stiamo trattando (la caduta di un grave): per tale legge l’energia (potenziale + cinetica) di partenza deve essere uguale a quella di arrivo. La palla parte da ferma, quindi la sua energia alla partenza è tutta e solo potenziale (m g h) mentre all’arrivo la sua energia è tutta e solo cinetica (½ m vf²), dove m è la massa della particella, g l’accelerazione di gravità, h l’altezza del punto di partenza rispetto a quello di arrivo, vf è la velocità raggiunta alla base:

m g h = ½ m vf², dal che, semplificando per m, otteniamo

g h = ½ vf², dal che

vf² = ±RadQ(2 g h)

vf = RadQ( 2*9,81*15) = 17,155 m/s, trascurando il valore negativo]

Notiamo che il modulo della velocità di arrivo al suolo è superiore a quello della velocità di rimbalzo, il che è logico, perché parte dell’energia cinetica si è trasformata in calore per effetto dell’attrito durante il rimbalzo.

 

d2) mantenendo come positiva la direzione verso il basso, osserviamo il moto come uniformemente decelerato con a = 9,81 m/s² rispetto alla velocità iniziale vi = -10m/s. Per calcolare a che altezza arriva, calcoliamo prima quanto tempo impiega ad azzerarsi la velocità:

vf = 0 = vi + a t = -10m/s + 9,81 m/s²*t dal che ricaviamo t

t = 10m/s/9,81 m/s² = 1,019s

Per calcolare lo spazio percorso nel moto uniformemente decelerato, usiamo la solita legge oraria

sf = |si + vi t + ½ a t²| (prendiamo il valore assoluto |...|, perché altrimenti ci uscirebbe una misura negativa di spazio, avendo scelto come verso positivo quello di discesa anziché di risalita)

sf = |0 - 10m/s*1,019s + ½*9,81*(1,019s)²| =|-5,096m| = 5,096m

d2a) soluzione alternativa con la legge di conservazione dell’energia, in base alla quale l’energia (potenziale + cinetica) di partenza deve essere uguale a quella di arrivo. La palla parte da quota zero con |vi| = 10m/s (dove ha solo energia cinetica) ed arriva a fermarsi all’altezza h (dove ha solo energia potenziale), quindi imponiamo che

½ m vi² = m g h, da dove, semplificando per m, otteniamo

½ vi² = g h, dal che ricaviamo h

 h = ½ vi² = ½*(10ms)²/9,81 = 5,096m

 

d3) basta applicare la legge oraria del moto uniformemente decelerato

sf = |si + vi t + ½ a t²|

sf = |0 -10m/s*0,5s + ½*9,81m/s²*(0,5)²| = |-3,773m| = 3,773m

 

Ovviamente avremmo potuto risolvere sia d2) sia d3) prendendo come positiva la direzione di risalita: in tal caso avremmo considerato come positiva la velocità iniziale e negativa l’accelerazione di gravità:

vi = 10m/s

a = -9,8m/s²

avremmo risolto d2) senza i valori assoluti (|   |) così

   vf = 0 = vi + a t = 10m/s - 9,81 m/s²*t

   dal che ricavi t = -10m/s/-9,81 m/s² = 1,019s

   sf = si + vi t + ½ a t²

   sf = 0 + 10m/s*1,019s - ½*9,81*(1,019s)² = 5,096m

avremmo risolto d3) senza i valori assoluti (|   |) così

   sf = si + vi t + ½ a t²

   sf = 0 +10m/s*0,5s - ½*9,81m/s²*(0,5)² = 3,773m

 

2015.11.15 Descrivi il moto vario di un corpo la cui velocità è rappresentata dal grafico seguente e misura lo spazio percorso tra 0s e 50s

Premessa: trasformiamo i km/h in m/s per uniformare le unità di misura:

   108km/h = 30m/s;     144km/h = 40m/s

 

Tra 0 e 10s vediamo che la velocità aumenta in modo costante per tutto il tempo Δt = 10s – 0s = 10s, quindi con accelerazione costante data da

a = Δv/Δt = (vf  - vi )/Δt = (30m/s – 0m/s)/10s = 3 m/s²

trattasi di moto uniformemente accelerato che percorre uno spazio la cui legge oraria è data dalla formula

s0-10 = si + vi t + ½ a t² dove (s0-10 = spazio percorso da calcolare nell’intervallo 0-10s, vi = velocità iniziale = 0m/s, t = Δt intervallo di tempo = 10s)

s0-10 = 0 + 0*10s + ½*3m/s²*(10s)²= 150m

 

Tra 10 e 30s vediamo che la velocità è costante per tutto il tempo Δt=30s-10s=20s: trattasi di moto rettilineo uniforme la cui legge oraria è data dalla formula

s10-30 = si + vi t = 0 + 30m/s*20s = 600m

 

Tra 30 e 40s vediamo che la velocità aumenta in modo costante per tutto il tempo Δt = 40s – 30s = 10s, quindi con accelerazione costante data da

a = Δv/Δt = (40m/s – 30m/s)/10s = 1 m/s²

trattasi di moto uniformemente accelerato che percorre uno spazio la cui legge oraria è data dalla già detta formula s30-40 = si + vi t + ½ a t²

s30-40 = 0 + 30m/s*10s + ½*1m/s²*(10s)² = 350m

 

Tra 40 e 50s vediamo che la velocità diminuisce in modo costante per tutto il tempo Δt = 50s – 40s = 10s, quindi con decelerazione costante data da

a = Δv/Δt = (vf  - vi )/Δt = (0m/s - 40)/10 = -4 m/s²

trattasi di moto uniformemente decelerato che percorre uno spazio la cui legge oraria è data dalla suddetta formula s40-50 = si + vi t + ½ a t²

s40-50 = 0 + 40*10 - ½*4m/s²*(10s)² = 200m

 

Concludendo: s0-50  = 150 + 600 + 350 + 200 = 1300 m = 1,3 km

Nota che il valore numerico della misura dello spazio complessivamente percorso è uguale a quello dell’area sottesa alla linea spezzata che ne descrive la velocità, area formata dal triangolo rettangolo 0-10 più il rettangolo 10-30, più il trapezio 30-40 più il triangolo rettangolo 50-50

 

2010.11.10 Una barca parte da ferma in t0 e aumenta la sua velocità fino al momento t1 in cui raggiunge 4,12m/s con accelerazione costante.

d1) qual è la velocità media della barca nel tragitto percorso tra t0 e t1?

d2) se alla barca occorrono 4,77s per raggiungere la suddetta velocità, che distanza ha percorso in tale intervallo di tempo?

d1) La velocità media in valore assoluto è

vm = (vf + vi) / 2

vm = (4,12m/s + 0i) / 2 = 2,06m/s

 

d2) per calcolare la distanza useremo la legge oraria del moto uniformemente accelerato

sf = si + vi t + ½ a t²

ci manca l’accelerazione, che ricaveremo dalla legge della velocità uniformemente accelerata (sapendo quanto tempo ha impiegato l’accelerazione per aumentare la velocità da zero a 4,12m/s)

vf = vi + a t

4,12m/s = 0 + a*4,77s, dal che

a = 4,12m/s/4,77s = 0,863m/s², valore che inseriremo nella legge oraria

sf = 0 + 0* t + ½*0,863m/s²*(4,77s )² = 9,826m